高二数学

高二数学

设A（X1，Y1）B（X2，Y2），右焦点为C

过右焦点C（3，0）的直线方程为kY=X+kb,（若设Y=kx+b,则直线垂直x轴时，k不存在)

将C代入方程得 kb=-3,则kY=X-3 ..........(1)

将(1)代入椭圆方程中得，(kY+3)^2/25+Y^2/16=1,

整理得(25+16k^2)Y^2+96kY-256=0

Y1+Y2=-96k/(25+16k^2)

Y1*Y2=-256/(25+16k^2)

|Y1-Y2|^2=(Y1+Y2)^2-4(Y1)(Y2)=25600(k^2+1)/(25+16k^2)^2

|Y1-Y2|=[160√(k^2+1)]/(25+16k^2)

弦长公式 AB=160(k^2+1)/(25+16k^2)=10-90/(25+16k^2)

于是可知AB长度是以k^2的减小而减小，所以k=0时，AB可取最小值，即直线与x轴垂直时AB最小

2

过椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的焦点作一直线，与椭圆交于A,B两点，当AB与椭圆的长轴垂直时，AB的长度最短

3

过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的焦点作一直线，与双曲线交于A,B两点，当AB与双曲线的虚轴垂直时，AB的长度最短